Fungsi Rasional: Pengertian, Rumus, Grafik, dan Contoh Soal [LENGKAP]

Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk V(x) = p(x) / d(x) dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) ≠ 0. 

Sama dengan bilangan rasional yang merupajan rasio dari dua bilangan bulat, fungsi rasional merupakan rasio daru dua polynomial.

Fungsi rasional merupakan fungsi yang mempunyai bentuk umum:

Dimana p dan d adalah polynomial dan d(x)≠0. Domain dari V(x) merupakan seluruh bilangan real, kecuali pembuat nol dari d.

Adapun fungsi rasional yang paling sederhana, yakni fungsi y=1/x  dan fungsi  y=1/(x)^2

Di mana keduanya mempunyai pembilang konstanta serta pemnyebut polynomial dengan satu suku. Dan kedua fungsi tersebut mempunyai domain semua bilangan real kecuali x≠0.

Fungsi y=1/x

Fungsi ini disebut jug sebagai fungsi kebalikan sebab setiap kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut.

Yang artinya x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, begitu juga sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

Tabel dan grafik di atas menunjukkan beberapa hal yang menarik.

1. Grafik tersebut lulus pada uji garis vertical. Yang berarti setiap garis wertikal pada bidang koordinat cartesius akan memotong grafik pada maksimal satu titik. Sehingga y=1/x adalah sebuah fungsi.
2. Sebab pembagian tidak terdefinisi jadi saat pembaginya nol, maka nol tidak akan mempunyai pasangan, sehingga menghasilkan jeda pada x=0. Hal tersebut sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yakni seluruh  anggota bilangan real kecuali 0.
3. Fungsi tersebut adalah fungsi ganjil, dengan salah atu cabangnya terletak di kuadran I sementara yang lainnya pada kuadran III.
4. Pada kuadran I, saat x menuju tak hingga, nilai y  menuju dan mendekati nol.

Secara simbolis bsa dituliskan sebagai x→∞, y →0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu- pada saat  mendekati tak hingga.

Tak hanya itu saja, kita juga bisa mengamati bahwa pada saat x mendekati nol dari kanan maka nilai y akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x→0⁺, y→∞.

Untuk catatan, tanda + atau – yang berada di atas akan mengindikasikan arah dari pendekatan. Yakni dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (-).

Contoh Fungsi y=1/x

Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi rasional

Untuk y=1/x dalah kuadran III

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut
2. Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat x mendekati nol

Pembahasan:

Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh

1. Pada saat x mendekati negative tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbollkan x→-∞,  y →0
2. Pada saat mendekati nol dari kiri, nilai akan mendekati negative tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x →0^–, y→-∞

Fungsi y=1/(x^2)

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x=0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negative merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak di atas sumbu-x

Perhatikan bahwa fungsi y=1/(x^2) adalah fungsi genap.

Sama halnya dengan y=1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika fitulis simbolnya maka akan menjadi x→∞,  y →0

Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y=0 adalah asimtot horizontal dari fungsi  y=1/x dan y=1/x^2. Secara umum,

Asimstot horizontal,

Diberikan sebuah konstanta k, garis y=k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas akan menimbulkan V(x) mendekati k : x→-∞ atau V(x) →k atau x→∞ atau V(x) →k

Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y=1, yang menunjukkan grafik f(x) sebagai translasi grafik y=1/xke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y=-2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y=1/x^2 ke bawah sejauh 2 satuan.

Contoh Soal Fungsi y=1/x^2

Mendeskripsikan gambar (b) di atas, pakailah notasi matematika guna:

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik di atas
2. Mendeskripsikan apa yang berlangsung pasa saat  mendekati nol

Pembahasan:

Dari contoh di atas, maka dapat diketahui bahwasanya pada saat x mendekati nol, g akan berubah menjadi sangat besar serta semakin bertambah tidak terbatas.

Hal tersebut adalah indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertical. Dan kemudian kita akan menyebut garis x=0 adalah asimtot vertical untuk g(x)=0 juga adalah asimtot vertical untuk f , secara umum

Asimtot Vertikal

Diberikan sebuah konstanta h , garis x=h adalah asimtot vertical untuk fungsi V apabila x  mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x→h^–, V(x)→± ∞ atau pada saat x→ h^–,  V(x)→± ∞

Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertical sangatlah bermanfaat. Sebab grafik y=1/x  dan y=1/x^2 bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertical maupun horizontal, fungsi:

Adalah bentuk pergeseran dari fungsi y=1/x.Sementara untuk fungsi,

Adalah bentuk pergeseran dari fungsi y=1/x^2. Kemudian perhatikan contoh yang ada di bawah ini:

Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggap lah |a|=1

Pembahasan:

Dari grafik di atas dapat kita ketahui bahwasanya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y=1/x ke kanan sejauh 2 satuan, serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertical dari grafik di atas secara berturut-turut y=-1 dan x=2. maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

Yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi  y=1/x.

Demikianlah ulasan sigifikat mengenai fungsi rasional, semoga ulasan di aras dapar dijadikan sebagai bahan pelajaran. Terimakasih :))

Referensi: yuksinau.id