Persamaan Kuadrat (LENGKAP) : Pengertian, Rumus, Contoh Soal

persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan salah satu persamaan matematika dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat atau PK adalah sebagai berikut:

ax2 +bx + c = 0

dengan x merupakan variabel, a, b merupakan koefisien, dan c merupakan konstanta. Nilai a tidak sama dengan nol.

Bentuk Grafik

Persamaan kuadrat jika digambarkan dalam bentuk koordinat kartesian (x,y) maka akan membentuk grafik parabolik. Oleh karena itu persamaan kuadrat juga sering disebut sebagai persamaan parabola.

Berikut contoh bentuk persamaan tersebut dalam bentuk grafik parabolik.

grafik persamaan kuadrat

Pada persamaan kudrat umum nilai a, b, dan c sangat mempengaruhi pola parabolik yang dihasilkan.

Nilai a menentukan cekung atau cembungnya kurva parabola. Jika nilai dari a>0, maka parabola akan terbuka ke atas (cekung). Sebaliknya, jika a<0, maka parabola akan terbuka ke bawah (cembung).

Nilai b pada persamaan tersebut menentukan posisi puncak parabola. Dengan kata lain, menentukan nilai sumbu simetri kurva yang senilai denga x =-b/2a.

Nilai konstanta c pada grafik persamaan menentukan titik potong fungsi parabola dengan sumbu y. Berikut grafik parabolik dengan perubahan nilai konstanta c.

Akar-akar Persamaan Kuadrat (PK)

Penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Macam-macam Akar PK

Macam akar PK dapat diketahui dengan mudah menggunakan rumus umum D = b2 – 4ac dari persamaan umum kuadratnya ax2+bx+c=0 .

Berikut macam-macam akar persamaan kuadrat.

1. Akar Real (D>0)

Jika nilai D>0 dari suatu PK, maka akan menghasilkan akar-akar persamaan yang real namun memiliki akar-akar yang berlainan. Dengan kata lain x1 tidak sama dengan x2.

Contoh persamaan akar real (D>0)

Tentukan jenis akar persamaan dari persamaan x2 + 4x + 2 = 0 .

Penyelesaian:
a = 1; b = 4; dan c = 2
D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(2)
D = 16 – 8
D = 8
Jadi karena nilai D>0, maka akar nya adalah jenis akar real.

2.Akar real sama x1=x2 (D=0)

Merupakan jenis akar persamaan kuadratyang menghasilkan akar-akar bernilai sama (x1=x2).

Contoh akar real (D=0)

Tentukan nilai akar-akar PK dari 2x2 + 4x + 2 = 0.

Penyelesaian:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(2)(2)
D = 16 – 16
D = 0 
Jadi karena nilai D=0, maka terbukti akar real dan kembar.

3. Akar Imajiner / Tidak Real (D<0)

Jika nilai D<0 , maka akar dari persamaan kuadrat akan berbentuk imajiner/ tidak real.

Contoh akar imajiner (D<0)/

Tentukan jenis akar dari persamaan x2 + 2x + 4 = 0 .

Penyelesaian:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 – 4ac
D = 22 – 4(1)(4)
D = 4 – 16
D = -12 
Jadi karena nilai D<0, maka akar persamaanya merupakan akar tidak real atau imajiner.

Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat

Untuk mencari hasil akar-akar persamaan kuadrat, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan. Diantaranya yaitu faktorisasi, kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc.

Berikut penjelasan mengenai beberapa metode untuk mencari akar-akar persamaan.

1. Faktorisasi

Faktorisasi/ pemfaktoran adalah suatu metode dalam mencari akar-akar dengan mencari nilai yang jika dikalikan maka akan menghasilkan nilai lain.

Terdapat tiga bentuk persamaan kuadrat (PK) dengan faktorisasi akar-akar yang berbeda, yaitu:

No Bentuk persamaan Faktorisasi Akar-akar
1 x2 + 2xy + y2 = 0 (x + y)2 = 0
2 x2 – 2xy + y2 = 0 (x – y)2 = 0
3 x2 – y2 = 0 (x + y)(x – y) = 0

Berikut contoh soal mengenai penggunaan metode faktorisasi pada persamaan kuadrat.

Selesaikan persamaan kuadrat 5x2+13x+6=0 menggunakan metode faktorisasi.

Penyelesaian:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
(5x + 3)(x + 2) = 0
5x = -3 atau x = -2
Jadi, hasil dari penyelesaiannya adalah x = -3/5 atau x= -2

2. Kuadrat Sempurna

Bentuk kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan kuadrat yang menghasilkan bilangan rasional.

Hasil dari persamaan kuadrat sempurna umumnya menggunakan rumus sebagai berikut:

(x+p)2 = x+ 2px + p2

Penyelesaian umum dari persamaan kuadarat sempurna ialah sebagai berikut:

(x+p)2 = x+ 2px + p2
dengan pemisalan (x+p)= q , maka:
(x+p)= q
x+p = ± q
x = -p ± q

Berikut contoh soal mengenai penggunaan metode persamaan sempurna.

Selesaikan persamaan x+ 6x + 5 = 0 menggunakan metode persamaan kuadrat sempurna!

Penyelesaian:
x+ 6x +5 = 0
x+ 6x = -5
Langkah selanjutnya yaitu tambahkan satu angka di ruas kanan dan kiri hingga dapat berubah ke bentuk kuadrat sempurna.
x+ 6x + 9 = -5 + 9
x+ 6x + 9 = 4
(x+3)= 4
(x+3) = √4
x = 3 ± 2
Jadi, hasil akhirnya adalah x = -1 atau x = -5

3. Rumus Kuadrat ABC

Rumus abc merupakan alternatif pilihan ketika persamaan kuadrat sudah tidak bisa diselesaikan dengan metode faktorisasi maupun kuadrat sempurna.

Berikut rumus formula abc pada persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0.

akar-akar persamaan kuadrat

Berikut contoh penyelesaian soal persamaan kudrat menggunakan formula abc.

Selesaikan persamaan x+ 4x – 12 = 0 menggunakan metode formula abc!

Penyelesaian:
x+ 4x – 12 = 0
dengan a=1, b=4, c=-12

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika sebelumnya kita telah belajar bagaimana mengetahui akar-akar dari persamaan tersebut, maka sekarang kita akan belajar menyusun persamaan kuadratnya dari akar-akar yang telah diketahui sebelumnya.

Berikut beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyusun PK baru.

1. Menyusun persamaan jika telah diketahui akar-akarnya

Jika sebuah persamaan memiliki akar x1 dan x2, maka persamaan dari akar tersebut bisa dinyatakan dalam bentuk

(x- x1)(x- x2)=0

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat dimana akar-akarnya diantaranya -2 dan 3.

Penyelesaian:
x=-2 dan x2=3
(x-(-2))(x-3)=0
(x+2)(x+3)
x2-3x+2x-6=0
x2-x-6=0
Jadi, hasil persamaan dari akar-akar tersebut adalah x2-x-6=0

2. Menyusun persamaan kuadrat jika jumlah serta hasil kali akar diketahui

Jika akar-akar persamaan kuadratnya dengan jumlah dan kali x1 dan x2 telah diketahui, maka persamaan kuadratnya dapat diubah dalam bentuk sebagai berikut.

x2-( x1+ x2)x+(x1.x2)=0

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar 3 dan 1/2.

Penyelesaian:
x1=3 dan x2= -1/2
x1+ x2=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2
x1.x= 3 (-1/2) = -3/2
Sehingga, persamaan kuadratnya yaitu:
x2-( x1+ x2)x+(x1.x2)=0
x2– 5/2 x – 3/2=0 (masing-masing ruas dikali 2)
2x2-5x-3=0
Jadi, persamaan kuadratnya dari akar 3 dan 1/2 adalah 2x2-5x-3=0 .

About Rizka Zakiya 142 Articles
Mahasiswi Departemen Fisika Universitas Diponegoro dengan bidang ilmu Fisika Material

1 Comment

  1. Mohon dibuatkan Grafik Persamaan Kwadrat (Kurs Rupiah thd Dollar dan Yen) dimana :
    Grafik tsb melintasi titik (1, 148) dan titik (1, 14.500)
    Mohon juga ditentukan titik puncak nya (Nilai tukar rupiah tertinggi yg bisa dicapai) jika kondisi politik tidak mempengaruhi kurs rupiah dan PDB 1/4 utk hutang membuat dollar berada pada kurs 14.500
    Terima kasih atas perhatiannya.

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*