Soal himpunan pada artikel ini berisi kumpulan soal himpunan dengan berbagai variasi, disertai dengan pengertian, jenis-jenis himpunan dan pembahasannya. Sehingga dapat membantumu memahami materi himpunan.
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan objek tertentu yang memiliki definisi jelas dan dianggap sebagai satu kesatuan. Contoh himpunan bilangan bulat, himpunan sabun, himpunan hewan berkaki 2, dan sebagainya.
Jenis Himpunan
Berikut adalah jenis-jenis himpunan.
1. Himpunan semesta
Merupakan himpunan yang meliputi seluruh anggota maupun objek dalam himpunan. Biasanya dilambangkan dengan hurud “S” atau “U”.
2. Himpunan kosong
Merupakan himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinotasikan dengan {} atau ∅. Jenis dari himpunan ini hanya memiliki satu anggota yaitu nol (0).
3. Himpunan bagian
Himpunan A adalah himpunan bagian B jika masing-masing anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B. Dengan demikian, himpunan bagian ini dapat dinotasikan dengan A ⊂ B atau B ⊃ A.
Apabila terdapat himpunan A dan B di mana pada masaing-masing anggota A adalah anggota B, maka disebutkan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B atau disebut sebagai B memuat A serta dilambangkan dengan simbol A ⊂ B.
Sehingga, A ⊂ B jika dan hanya apabila 𝑥 ⊂ A ⇒ 𝑥 ⊂ B
Apabila terdapat anggota dari A yang bukan bagian dari anggota B, maka A bukan bukan merupakan himpunan bagian dari B. Serta dilambangkan dengan menggunakan simbol A ⊄ B.
4. Himpunan sama
Jika masing-masing anggota himpunan A juga bagian dari anggota himpunan B, begitu juga sebaliknya maka dinotasikan dengan A=B
Syarat:
Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Sebagai contoh:
A ={ c,d,e} B={ c,d,e } Maka A = B
Keterangan:
Himpunan equal atau himpunan sama mempunyai dua buah himpunan yang di mana anggotanya sama. Contohnya pada anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan mempunyai anggota yakni { c,d,e }.
5. Himpunan ekuivalen
Himpunan ekuivalen merupakan suatu himpunan yang di mana setiap anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.
Syarat:
Bilangan cardinal dinyatakan dengan menggunakan notasi n (A) A≈B, disebut sebagai sederajat atau ekivalen, apabila himpunan A ekivalen dengan himpunan B,
Sebagai contoh:
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = { r,s,t,u } →n (B) = 4
Sehingga n (A) =n (B) →A≈B
Keterangan:
himpunan ekivalen memiliki bilangan cardinal dari himpunan itu jika himpunan A beranggotakan 4 karakter sehingga himpunan B juga beranggotakan 4.
6. Himpunan saling lepas
Himpunan lepas merupakan sebuah himpunan yang di mana setiap anggotanya tidak ada yang sama.
Sebagai contoh:
C = {1, 3, 5, 7} serta D = {2, 4, 6} Maka himpunan C dan juga himpunan D saling lepas.
Catatan:
Dua himpunan yang tidak kosong disebut saling lepas apabila kedua himpunan tersebut tidak memiliki satu pun anggota yang sama
7. Himpunan komplemen
Himpunan komplemen bisa dinyatakan dengan menggunakan notasi AC .
Himpunan komplemen apabila diibaratkan akan menjadi: S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂U.
Himpunan {1,2,6,7} pula merupakan komplemen, sehingga menjadi AC = {1,2,6,7}.
Dengan penggunaan notasi pembentuk himpunan maka ditulis menjadi:
AC = {x│x Є U, x Є A}
Operasi Himpunan
Untuk memahami operasi matematika pada himpunan, yuk simak ulasan mengenai operasi himpunan berikut.
1. Irisan
Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdapat di himpunan A dan himpunan B. Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩’
Contoh:
A = {1,2,3,4}
B = {3,4,5,6}
Maka A ∩ B = {3,4}
2. Gabungan
Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari anggota himpunan A dan himpunan B. Gabungan antara dua buah himpunan yang dinotasikan dengan tanda ‘∪‘.
Contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {4,5,7,9,10)
Maka A ∪ B = {1,2,3,4,5,7,9,10}
3. Selisih
A selisih B adalah himpunan dari anggota himpunan A yang tidak memuat anggota himpunan B. Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan dengan tanda ‘– ‘.
Contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,5,7,9}
Maka A – B = {1,3}
4. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan adalah unsur-unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan) kecuali anggota himpunan tersebut. Komplemen dari A dinotasikan dengan AC (dibaca A komplemen).
Contoh:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Maka AC= {2, 4, 6, 8, 10}
Contoh Soal Himpunan dan Pembahasan
Berikut contoh soal-soal himpunan dan pembahasannya.
Contoh Soal 1
Kelas 7A terdiri dari 30 orang siswa. Sebanyak 12 siswa menyukai bermain voli, 20 orang lainnya menyukai basket, dan 5 orang tidak menyukai keduanya. Berapa banyak orang yang menyukai voli dan basket?
Pembahasan:
Dimisalkan: n(V) sebagai jumlah anak yang menyukai voli
n (B) sebagai jumlah anak yang menyukai basket
Maka, persoalan matematikanya bisa ditulis sebagai berikut.
n(S) = n(V ∪ B) + n(V ∪ B)C
30 = n (V) + n (B) – n( V ∩ B ) + n( V ∩ B) C
30 = 12 + 20 – n( V ∩ B ) + 5
n( V ∩ B ) = 7
Jadi, banyak orang yang menyukai voli dan basket adalah 7 orang
Contoh Soal 2
Sebuah himpunan semesta S = {m,a,t,e,m,a,t,i,k,a}. Berapa banyak himpunan bagian dari S?
Pembahasan:
n(S) = 10 = 2n(S) = 210 = 1024
Contoh Soal 3
Diketahui
A = { x | 1 < x 5, maka x ialah bilangan bulat }.
B = { x | x 5, maka x ialah bilangan prima }.
Maka tentukanlah hasil dari A ∪ B ?
A = {2,3,4,5}
B = {2,3,4,5,7,11,13}
Simbol dari ( union atau gabungan ) artinya gabungan anggota himpunan yang saling terkait.
A ∪ B = { 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13 }.
Jadi, hasil dari A ∪ B ialah = { 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13 }.
Contoh Soal 4
Terdapat 40 orang yang mengikuti lomba. Lombanya ialah baca puisi yang di ikuti oleh 23 orang peserta, lalu ada lagi lomba baca puisi dan menulis cerpen yang di ikuti oleh 12 orang peserta. Maka hitunglah berapa banyak peserta yang mengikuti lomba menulis cerpen ?
Pembahasan :
Dimisalkan: n( C ) sebagai jumlah anak yang lomba cerpen
n ( P ) sebagai jumlah anak yang lomba puisi
n ( C ∩ P ) sebagai jumlah anak yang lomba cerpen dan puisi
n ( C ∩ P) C sebagai jumlah anak yang tidak lomba cerpen/puisi
Maka himpunan tersebut dapat digambarkan dengan bentuk diagram venn seperti gambar yang di bawah ini :
Banyak peserta yang hanya mengikuti lomba menulis cerpen ialah :
n(S) = n(C ∪ P) + n(C ∪ P)C
40 = n (C) + n (P) – n( C ∩ P ) + n( C ∩ P) C
40 = n (C ) + 23 – 12 + 0
n( C ) = 29
Jadi, banyak peserta yang mengikuti lomba menulis cerpen adalah 29 orang peserta.
Contoh Soal 5
Di ketahui :
K = { x | 5 x 9, maka x ialah bilangan asli }.
L = { x | 7 x 13, maka x ialah bilangan cacah }.
Maka tentukanlah hasil dari K ∪ L ?
Pembahasan:
K = { 5, 6, 7, 8, 9 }
L = { 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }
Simbol ( union atau gabungan ) artinya adalah gabungan dari himpunan yang saling terkait.
K ∪ L = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }
Jadi, hasil dari K ∪ L ialah = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }.
Semoga bermanfaat!
