Program Linear: Pengertian, Konsep, Grafik + Contoh Soal [LENGKAP]

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaian persoalan linear.

Di dalam persoalann linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah ke dalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200gr bahan pertama dan 150gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180gr bahan pertama dan 170gr bahan kedua.

Persediaan di gudang bahan pertama 72kg dan bahan kedua 64kg. Harga model pertama adalah Rp.500.000,- dan model kedua Rp.400.00,0. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x,y=500.000 x + 400.000 y). Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000gr, maka 200x + 180y ≤72.000
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000gr, maka 150x + 170y ≤64.000
• Masin-masing model harus terbuat

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x,y)=500.000 x + 400.000 y

Syarat:

200x + 180y ≤72.000
150x + 170y ≤64.000
x≥0
y≥0

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian.

Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan ke dalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius
2. Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yan glainnya. Titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum
3. Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua cara yaitu:
4. Menggunakan garis selidik

Membandingkan nilai fungsii objektif tiap titik ekstrim

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x,y)= ax+by di mana garis selidiknya adalah ax+by=Z.

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunann penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal.

Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikan nilai fungsi optimum.

1. Cara 1 (syarat a>0)
2. Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
3. Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

1. Cara 2 (syarat b>0  )
2. Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum
3. Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Untuk nilai a<0  dan b<0  berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari funngsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titik potong terserbut merupakan nilai ekstrim berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

1. Tentukan nilai minimum f(x,y)=9x+y pada daerah yang dibatasi oleh 2≤x≤6 , dan 0≤y≤8 serta x+y≤7  

Pembahasan:

• Gambar grafiknya

• Menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim yaitu A, B, C, dan D. Himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir

• Menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y=0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan ke dalam f(x,y)=9x+y  untuk dibandingkan

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

1. Tentukan di mana nilai maksimum fungsi f(x,y)=4x+5y yang akan dicapai pada grafik ini!

Pembahasan:

Titik ekstrim pada gambar adalah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik palling kiri
• B(3,6)
• C(8,2)
• D(8,0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42

1.  Pedagang buah memiliki moadl Rp.1.000.000,- untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp.4.000,- dan pisang Rp.1.600,-. Tempatnya hanya bisa menampung 400kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Diketahui:

Dengan syarat

• Kapasitas tempat x+y≤400
• Modal 4000x+1600y≤1000000 atau 5x+2y≤1250
• x≥0
• y≥0

Diagram

Titik ekstrim

• A(,400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250,0) bukan optimum karena tidak ada pisang
• B(x,y) dengan metode eliminasi 2 persamaan di atas diperoleh

Sehingga jumlah maksimum apel 150kg dan pisang 250kg

Terimakasih sudah membaca, semoga dapat membantu kamu untuk memahami program linear. Sampai jumpa di pembahasan yang lain.

Referensi: studiobelajar.com