Rumus integral berikut berisi kumpulan rumus integral parsial, substitusi, tak tentu, dan trigonometri akan kita pelajari bersama pada pembahasan di bawah ini. Simak dengan baik ya!

Integral merupakan bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau disebut invers dari operasi turunan dan limit dari jumlah ataupun suatu luas daerah tertentu. Kemudian juga dibedakan menjadi dua yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Integral tak tentu merujuk pada definisi integral sebagai invers (kebalikan) dari turunan, sedangkan integral tentu didefinisikan sebagai jumlahan suatu daerah yang dibatasi kurva atau persamaan tertentu.

Integral dimanfaatkan dalam berbagai bidang. Contoh pada bidang matematika dan teknik, integral digunakan untuk menghitung volume benda putar dan luasan pada kurva.

Bidang fisika, pemanfaatan integral digunakan untuk menghitung dan menganalisis rangkaian arus listrik, medan magnet, dan lainnya.

Rumus Umum Integral

Misalkan terdapat suatu fungsi sederhana axn. Integral dari fungsi tersebut adalah

rumus integral

Keterangan:

  • k  : koefisien
  • x   : variabel
  • n   : pangkat/derajat dari variabel
  • C   : konstanta

Misalkan terdapat suatu fungsi f(x). Jika kita akan menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) maka dapat ditentukan dengan

dengan a dan b merupakan gari vertikal atau batas luasan daerah yang dihitung dari sumbu-x. Misalkan integra dari f(x) disimbolkan dengan F(x) atau jika dituliskan

rumus integral

maka

rumus integral

Keterangan:

  • a, b  : batas atas dan batas bawah integral
  • f(x)  : persamaan kurva
  • F(x)  : luasan di bawah kurva f(x)

Sifat Integral

Beberapa sifat integral yaitu sebagai berikut:

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu merupakan suatu kebalikan dari turunan. Kalian dapat menyebutnya sebagai anti turunan atau antiderivative.

Integral tak tentu dari suatu fungsi menghasilkan fungsi baru yang belum memiliki nilai yang tentu karena masih terdapat variabel dalam fungsi baru tersebut. Bentuk umum integral tentu .

 Rumus integral tak tentu:

Keterangan:

  • f(x)  : persamaan kurva
  • F(x)  : luasan di bawah kurva f(x)
  • C     : konstanta

Contoh integral tak tentu:

Integral Substitusi

Beberapa permasalahan atau integral suatu fungsi dapat diselesaikan dengan rumus integral substitusi jika terdapat perkalian fungsi dengan salah satu fungsi merupakan turunan fungsi yang lain.

Perhatikan contoh berikut:

rumus integral

Kita misalkan U = ½ x2 + 3 maka dU/dx = x

Sehingga  x dx = dU

Persamaan integral substitusinya menjadi

= -2 cos U + C = -2 cos ( ½ x2 + 3) + C

Contoh

kita misalkan 3x2 + 9x -1 sebagai u
sehingga du = 6x + 9
2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

rumus integral

kemudian kita ganti kembali u dengan 3x2 + 9x -1 sehingga didapatkan jawaban:

Integral Parsial

Rumus integral parsial biasanya digunakan untuk menyelesaikan integral dari perkalian dua fungsi. Secara umum, integral parsial didefinisikan dengan

rumus integral

Keterangan:

  • U, V  : fungsi
  • dU, dV : turunan dari fungsi U dan turunan dari fungsi V

Contoh

Berapakah hasil dari ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx?

Penyelesaian:

Misal

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

Maka

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = − ⅓ cos (3x + 2)

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (3x + 2) . (− ⅓ cos (3x + 2)) − ∫ (− ⅓ cos (3x + 2)) . 3 dx

∫ u dv = − (x+2/3) . cos (3x + 2) + ⅓ . ⅓ sin (3x + 2) + C

∫ u dv = − (x+2/3) . cos (3x + 2) + 1/9 sin (3x + 2) + C

Jadi, hasil dari ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx adalah − (x+2/3) . cos (3x + 2) + 1/9 sin (3x + 2) + C.

Integral Trigonometri

Rumus integral juga mampu dioperasikan pada fungsi trigonometri. Pengoperasian integral trigonometri dilakukan dengan konsep yang sama pada integral aljabar yaitu kebalikan dari penurunan. hingga bisa disimpulkan bahwa:

rumus integral

Menentukan Persamaan Kurva

Gradien dan persamaan garis singgung kurva di suatu titik. Jika y = f(x), gradien garis singgung kurva di sembarang titik pada kurva ialah y’ = = f'(x). Oleh sebab itu, jika gradien garis singgungnya sudah diketahui jadi persamaan kurvanya bisa ditentukan dengan cara berikut.

y = ʃ f ‘ (x) dx = f(x) + c

Andai salah satu titik yang melalui kurva sudah diketahui, nilai c bisa diketahui sehingga persamaan kurvanya bisa ditentukan.

Contoh

Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) ialah 2x – 7. Jika kurva itu melalui titik (4, –2), tentukanlah persamaan kurvanya.
Jawab :
f ‘(x) = = 2x – 7
y = f(x) = ʃ (2x – 7) dx = x2 – 7x + c.
Karena kurva melalui titik (4, –2)
maka : f(4) = –2 ↔ 42 – 7(4) + c = –2
–12 + c = –2
c = 10
Maka, persamaan kurva tersebut yaitu y = x2 – 7x + 10.

Demikian pembahasan mengenai beberapa rumus integral, semoga bermanfaat.