Polinomial: Pengertian, Bentuk Penyelesaian, Contoh Soal dan Pembahasan

Polinomial atau suku banyak adalah bentuk persamaan yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Operasi yang digunakan suku banyak seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian serta  pangkat bilangan bulat tidak negatif.

Pengertian Polinomial

Polinomial adalah sebuah bentuk dari suku-suku dengan nilai banyak yang disusun dari variabel dan konstanta.

Bentuk umum dari polynomial yaitu:

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + . . . + a₁ x + a

Dimana:

a_n, a_n-1,…,a₁, a₀ € R adalah koefisien atau konstanta.
a_n ≠ 0 , serta n adalah bilangan bulat positif.
Pangkat dari x adalah derajat polinomial.

Contoh dari bentuk polinomial seperti

• f(x) = 2x³ – x² + 5x – 10
• g(x) = 3x² – 2x + 8
• dst

Metode Pembagian Polinomial

Bentuk pembagian polinomial dirumuskan sebagai berikut:

f(x) = g(x) H(x) + S

Dimana:

f(x) adalah suku banyak yang dibagi.
g(x) adalah suku banyak pembagi.
H(x) adalah suku banyak hasil bagi.
S adalah suku banyak sisa.

Cara pembagian biasa

Apabila terdapat persamaan suku banyak f(x) =a₂x²+a₁x+a0 dibagi dengan (x-k) akan memiliki hasil bagi berupa H(x) dan sisa s, maka diperoleh hubungan:

f(x) = (x-k) H(x) +S

cara yang bisa dilakukan untuk mencari hasil bagi H(x) dan sisa S digunakan pembagian bersusun berikut.

Jadi, hasil bagi H(x) = a₂x +a₂k+ a₁ dan sisa S adalah a₀+a₁k+a₂k²

Contohnya adalah jika 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan 2x² – x – 1. Berapakah hasil bagi dan sisanya!

Jadi, hasil baginya H(x) adalah x-1 dan sisanya x+4.

Metode Horner

Adapun beberapa aturan operasi pembagian menggunakan metode horner, diantaranya:

• Letakan semua koefisien dari derajat tertinggi sampai nol pada bagian atas (dari pangkat tertinggi dan urut). Jika terdapat persamaan suku banyak seperti 2x⁴ + 3x²-5x-9 = 0. Maka koefisien untuk pangkat x³ dapat ditulis 0.
• Letakan faktor pengali dibagian kiri.
• Hasil bagi terletak di baris bawah bagian kiri, sedangkan bagian kanan adalah sisa.

Hasil bagi = kolom bagian kiri / koefisien derajat pembagi

Sisa = kolom bagian kanan

Jadi, hasil bagi H(x) = a₂x+a₂k+ a₁ dan sisa S = a₂k²+a₁k+ a₀

Contoh:

Tentukan hasil bagi 4x⁵+3x³-6x²-5x+1 bila dibagi dengan 2x-1 dengan metode horner?

Sehingga didapatkan hasil baginya 2x⁴ + x³ + 2x² -2x -7/2 dan sisanya -5/2

Teorema

Teorema digunakan untuk mencari akar persamaan suku banyak yang pangkatnya lebih dari dua. Terdapat dua teorema yaitu teorema sisa dan faktor.

Teorema Sisa

Teorema ini digunakan untuk menentukan sisa pembagian suku banyak tanpa mengetahui persamaan suku banyak atau hasil baginya. Misalnya f(x) dibagi dengan p(x) dengan hasil bagi h(x) dan sisa h(x), sehingga diperoleh hubungan:

f(x) = p(x). H(x) + S(x)

Apabila f(x) suku berderajat n dan P(x) adalah pembagi berderajat m, dengan m ≤ n, maka diperoleh:

1. H(x) adalah hasil bagi berderaja (n-m)
2. S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (n-1)

Syarat teorema sisa meliputi du acara yaitu:

• Pembagian dengan (x-k)

Suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x-k) maka sisanya S=f(k), sisa f(k) adalah nilai suku banyak x=k yang dapat ditentukan dengan metode substitusi atau horner (bagan).

• Pembagian dengan (ax+b)

Suku banyak berderajat n dibagi dengan (ax+b) maka sisanya S = f(-b/a). sisa ini adalah nilai suku banyak untuk x = – b/a yang dapat ditentukan dengan metode subtitusi atau horner.

Teorema Faktor

Teorema ini digunakan untuk menentukan faktor  atau akar-akar rasional dari suku banyak dengan cara horner. Terdapat dua konsep teorema faktor yaitu

1. Jika P(x) habis dibagi q(x) atau mempunyai sisa nol, maka q(x) adalah faktor dari P(x)
2. Jika P(x) = f(x). g(x) maka f(x) dan g(x) adalah faktor dari P(x).

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Carilah sisa pembagi suku banyak 8x³-2x²+5 dengan (x+2) dengan teorema sisa!

Jawab:

Dengan menggunakan teorema sisa:

• Metode substitusi

f(-2) = 8(-2)3 – 2(-2)2 +5

= -64-8+5

= -67

• Metode horner dengan pembagian x-k

Jadi, sisa S = f(-2) adalah -67 dengan menggunakan teorema sisa.

2. Jika faktor-faktor f(x) = 3×3-5×2+px+q adalah (x+1) dan (x-3), maka nilai p dan q berturut-turut adalah

Jawab:

Pembuat nol pembagi : x=-1

Dengan metode horner diperoleh:

Karena (x+1) adalah faktor maka berdasarkan teorema faktor diperoleh

q-p-8 =0
q-p=8 …..(1)

pembuat nol pembagi: x= 3

dengan metode horner diperoleh:

Karena (x-3) adalah faktor maka berdasarkan teorema faktor diperoleh

q+3p+36 =0
q + 3p =-36 ….(2)

dengan menggunakan eliminasi:

Jadi nilai p = -11, maka q = -36 -3(-11) =-3

maka, diperoleh nilai p dan q berturut-turut adalah -11 dan -3.

3. Suku banyak x⁴ – 3x³ – 5x² + x – 6 dibagi oleh x² – x -2  sisanya sama dengan …

Jawab:

Diketahui pembaginya : x² – x -2, sehingga

x² – x -2= 0
(x – 2) (x + 1) = 0
x = 2 dan x = -1

Ingat rumus: P(x) = H(x)  + (px + q), sehingga sisanya (px + q), maka:

pembuat nol : x= 2

x = 2 => f(2) = 2p + q
24 – 3(2)³ – 5(2)² + 2 – 6 = 2p + q
16 – 24 – 20 + 2 – 6 = 2p + q

Sehingga didapat persamaan:

-32 = 2p + q … (i)

Pembuat nol: x =-1

x = -1 => f(-1) = -p + q
(-1) – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = -p + q
1 + 4 – 5 – 1 – 6 = -p + q

Sehingga didapat persamaan:

-8 = -p + q …(ii)

Eliminasikan persamaan (i) serta (ii), menjadi:

-32 =2p +q
-8 =-p +q
-24 =3p
p = -8

Jika kita substitusikan p = –p + q = -8

-(-8) + q = -8
q = -16

Maka , sisanya adalah = p + q = -8x – 16

Demikian penjelasan mengenai polinomial, lengkap beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga bermanfaat!

Referensi:

• yuksinau.id
• quipper.com