Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Penjelasan Lengkap dan Contoh Soal)

Pertidaksamaan nilai mutlak ditulis dengan |x|dan mengandung beberapa ungkapan seperti >, ≥, <, atau ≤ selengkapnya akan dibahas disini beserta contoh soal dan pembahasannya.

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

Jika a < b maka:

a + c < b + c
a – c < b – c

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

• a.c < b.c
• a/b < b/c

Tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

• a.c > b.c
• a/c > b/c

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2

Pertidaksamaan Kuadrat

Variabel pertidaksamaan ini berpangkat 2

Penyelesaian:

1. Ruas kanan dibuat menjadi nol
2. Faktorkan

• Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol

Gambar garis bilangannya

1. Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •
2. Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
• Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

Contoh:

(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4×2 – 4x + 1 ≥ 5×2 – 5x – 3x + 3 – 7
4×2 – 4x + 1 – 5×2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0

–x2 + 4x + 5 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1

Garis bilangan:

Menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
Jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif

Karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif dan karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif.

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

Variabel berpangkat lebih dari 2 dan penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat.

Contoh:
(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0

Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3

Garis bilangan:

• Menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
• Jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
• Karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
• Karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
• Selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling
• Karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

Pertidaksamaan Pecahan

Jenis ini terdapat pembilang dan penyebut

Penyelesaian:

• Ruas kanan dijadikan nol
• Samakan penyebut di ruas kiri
• Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
• Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
• Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4
• Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Contoh:

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4

Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3

Garis bilangan:

→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut

Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar

Variabelnya berada dalam tanda akar

Penyelesaian:

• Kuadratkan kedua ruas
• Jadikan ruas kanan sama dengan nol
• Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat
• Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0

Contoh:

Kuadratkan kedua ruas:

x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2
x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0

Semua dikali –1:

2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4

Syarat 1:

x2 – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1

Syarat 2:

x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0

Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dengan variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)

Penyelesaian:

Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0
Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0

Contoh 1:

|2x – 3| ≤ 5

berarti:

–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8

Semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4

Contoh 2:
|4x – 3| ≥ x + 1

Kedua ruas dikuadratkan:

= (4x – 3)2 ≥ (x + 1)2
= (4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0
= (5x – 2).(3x – 4) ≥ 0

Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0

x = 2/5 atau x = 4/3

Syarat:

x + 1 ≥ 0
x ≥ –1

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}

Pertidaksamaan Dengan Harga Mutlak

Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Nilai-nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian.

Contoh:

• (a) x ≠ y
• x < y
• 2x ≥ 5
• x² – 5 + 6 ≤. 6
• │1 – x│> 2, dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).

Dan himpunan semua pengganti variabel yang menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup yang benar disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.

Sebaliknya, suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.

Contoh:

(1). (x – 1)² ≥  0

(2). X + 2 > x + 1

(3). -3x² – 7x – 6 < 0

(4). -(x – 1)² ≤ 0

(5).│3x–4│   > – │ -1│

Selain itu ada pula suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya yang disebut pertidaksamaan palsu.

Contoh:

(1). X² + 2 ≤ 0

(2). X + 2 ≥ x + 3

(3). (x – 2)²  < 0

(4).│2x – 3│  > -│-x│

Contoh soal 1:

Tentukan interval pada penyelesaian pertidaksamaan berikut:

Jawab:

Contoh soal 2:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini

Jawab:

Itulah penjelasan lengkap pertidaksamaan nilai mutlak dan contoh soalnya. Semoga bermanfaat!

Referensi:

• dosenpendidikan.co.id
• rumusrumus.com