Persamaan garis lurus adalah suatu perbandingan antara koordinat y dan koordinat x dari dua titik yang terletak pada sebuah garis.
Sedangkan garis lurus sendiri yaitu kumpulan dari titik – titik yang sejajar dan garis lurus dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk.
Beberapa contoh penerapan persamaan garis misalnya seperti penghitungan sistem persamaan linear dua variable dengan menggunakan grafik (menggunakan konsep persamaan garis lurus), percobaan pelemparan bola yang membentuk kurva (persamaan kuadrat), dan mobil yang melewati lintasan berbentuk lingkaran (persamaan lingkaran).
Dibawah ini beberapa contoh untuk menyatakan persamaan garis lurus, yaitu:
- y = mx
- y = -mx
- y = a
- x = a
- ax + by = ab
- ax – by = -ab
- dan lain-lain
Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus
Bentuk umum persamaan garis lurus yaitu ax + by + c = 0. Persamaan garis lurus dapat dilukis dalam koordinat kartesius.
Kemudian cara untuk menentukan persamaan garis dari suatu grafik pada koordinat kartesius, perhatikan gambar berikut:
Pada grafik di atas terdapat garis lurus yang melalui koordinat (0, 4) dan (2, 0). Persamaan garis melalui dua titik dirumuskan dengan:
Misalkan (x1, y1) = (0, 4) dan (x2, y2) = (2, 0)
- (y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)
- (y – 4)/(0 – 4) = (x – 0)/(2 – 0)
- (y – 4)/(-4) = x/2
- 2(y – 4) = – 4x
- 2y – 8 = -4x
- 4x + 2y – 8 = 0
Persamaan garis tersebut dapat disederhanakan menjadi 2x + y – 4 = 0.
Keterangan:
- x, y : variabel
- (x1, y1); (x2, y2) : titik-titik yang dilalui oleh garis
Cara cepat menentukan persamaan garis yaitu:
Mengalikan absis titik potong sumbu-x dengan y serta mengalikan ordinat titik potong sumbu-y dengan x dengan hasil merupakan perkalian absis titik potong sumbu-x dengan ordinat titik potong sumbu-y.
Misalkan pada gambar di atas titik potong sumbu-x dan sumbu-y yaitu (2,0) dan (0, 4) sehingga menjadi
4x + 2y = 8
Jika kedua ruas dikurangi 8 diperoleh
4x + 2y – 8 = 0 dapat disederhanakan menjadi
2x + y – 4 = 0.
Pengertian Gradien
Gradien yaitu Perbandingan komponen y dan komponen x , atau disebut juga dengan kecondongan sebuah garis. Lambang dari suatu gradien yaitu huruf “m”.
Gradien juga dapat dinyatakan sebagai nilai dari kemiringan suatu garis dan dapat dinyatakan dengan perbandingan Δy/Δx
Perhatikan gambar dibawah ini untuk menentukan gradien pada sebuah persamaan garis berikut:
Berikut ini rumus mencari gradien garis dengan beberapa jenis persamaan :
Gradien dari persamaan ax + by + c = 0
Gradien yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan titik ( a , b )m = b/a
m = b/a
Gradien Yang melalui titik ( x1 , y 1 ) dan ( x2 , y2 )
m = y1 – y2 / x1 – x2 atau m = y2 – y1 / x2 – x1
Gradien garis yang saling sejajar ( / / )
m = sama atau jika dilambangkan adalah m1 = m2
Gradien garis yang saling tegak lurus ( lawan dan kebalikan )
m = -1 atau m1 x m2 = -1
Rumus Persamaan Garis Lurus
1. Persamaan Garis Lurus bentuk umum ( y = mx )
Persamaan yang melalui titik pusat (0 , 0) dan bergradien m .
Contoh:
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien 2 !
Jawab: y = mx
y = 2 x
2. y = mx + c
Persamaan garis yang / / dengan y = mx dan bergradien m
Persamaan garis yang melalui titik ( 0 , c ) dan bergradien m. ( 0 , c ) adalah titik potong sumbu y .
3. Persamaan Garis Lurus Yang Melalui titik ( x1 , y1 ) dan bergradien m
persamaannya yaitu :
y – y1 = m ( x – x1 )
4. Persamaan Garis Lurus Yang Melaui Dua titik yaitu ( x1 , y 1 ) dan ( x2 , y2 ) .
Contoh Soal dan Pembahasan
- Persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan (2, 0) adalah
Pembahasan:
Misalkan (x1, y1) = (3, 1) dan (x2, y2) = (2, 0)
(y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)
(y – 1)/(0 – 1) = (x – 3)/(2 – 3)
(y – 1)/(-1) = (x – 3)/(-1)
(-1)(y – 1) = (-1) (x – 3)
-y + 1 = -x + 3
x – y – 2 = 0
Jawaban: x – y – 2 = 0
2. Tentukan Gradien garis yang melalui titik ( 0 , 0 ) dengan titik A ( -20 , 25 ) ?
Pembahasan :
Diketahui :
Titik ( 0 , 0 )
Titik A ( -20 , 25 )
Ditanya : m = . . .?
Jawab :
m = b / a = 25 / -20 = – 5/4
3. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui pusat koordinat dan bergradien – 4/5 ?
Pembahasan :
Diketahui :
Titik pusat koordinat ( 0 , 0 )
m = -4/5
Ditanya : Persamaan garis lurus = . . .?
Jawab :
y = mx
y = -4 / 5 x
-4y = 5x
-4y -5y = 0
<-> 4y + 5y = 0
4. Persamaan garis lurus yang melalui titik ( 0 , -2 ) dan m = 3/4 adalah . . .?
Pembahasan :
Diketahui :
Titik garis ( 0 , -2 )
m = 3 / 4
Ditanya : Persamaan garis = . . .?
Jawab :
Cara 1
y = mx + c
y = 3/4 x + ( -2 ) x4
< => 4y = 3x – 8
< = > -3x + 4y + 8 = 0
Cara 2
y – y1 = m ( x – x1 )
y – ( -2 ) = 3/4 ( x – 0 )
y + 2 = 3/4 x x4
< = > 4y + 8 = 3x
< = > -3y + 4y + 8
5. Tentukan persamaan garis Z yang melalui titik ( 4 , 5 ) dan ( -5 , 3 ) ?
Pembahasan :
Diketahui :
Titik A ( 4 , 5 )
Titik B ( -5 , 3 )
Ditanya : Persamaan garis Z = . . .?
Jawab :
Cara 1
Langkah pertama yaitu mencari gradien terlebih dahulu :
m = y1 – y2 / x1 – x2
m = 5 – 3 / 4 – ( -5 )
m = 2 / 9
Selanjutnya yaitu memasukkan ke dalam rumus :
Persamaan garis melalui titik ( 4 , 5 ) dan bergradien 2 / 9
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 5 = 2/9 ( x – 4 )
y – 5 = 2/9x – 8/ 9
y = 2/9 x – 8 / 9 + 5
y = 2/9 x – 8/9 + 45 /9
y = 2/9x – 37 / 9
Cara 2
Tanpa mencari gradien, yaitu dengan cara:
y – 5 / 3 – 5 = x – 4 / -5 – 4
y – 5 / -2 = x – 4 / -9
-9 ( y – 5 ) = -2 ( x – 4 )
-9y + 45 = -2x + 8
-9y + 2x +45 – 8 = 0
2x – 9y + 37 : 9
< = > 2/9 x – y + 37 / 9
< = > y = 2/9x + 37 / 9
Itulah pembahasan tentang persamaan garis lurus, baik dari bentuk umum, rumus, contoh soal beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat!
Referensi:
Persamaan Garis Lurus & Singgung: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal
