Permutasi dan Kombinasi; Rumus, Perbedaan, dan Contoh Soal

permutasi dan kombinasi
Ilustrasi oleh dribbble.com

Permutasi dan kombinasi saling berkaitan dalam materi statistika. Permutasi adalah pencacahan/penyusunan kembali suatu kumpulan objek yang bisa dilakukan dengan memperhatikan urutan objek., sedangkan kombinasi selengkapnya dalam artikel ini.

Dalam mempelajari materi peluang, kita bertemu dengan permutasi dan kombinasi. Sebelum mengenal lebih jauh mengenai permutasi dan kombinasi, kita harus memahami notasi faktorial.

Notasi faktorial biasa dilambangkan dengan tanda ‘”!”. Jika kita menghitung nilai faktorial 3! maka hasilnya dihitung sebagai 3 x 2 x 1= 6. Demikian jika 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120, dan seterusnya.

Selanjutnya, berikut materi mengenai permutasi dan kombinasi beserta dengan perbedaannya.

Permutasi

Permutasi adalah pencacahan/penyusunan kembali suatu kumpulan objek yang bisa dilakukan dengan memperhatikan urutan objek. Jadi, hasil dari permutasi memiliki urutan yang berbeda dari urutan semula, demikian seterusnya.

Dalam studi kasus, terdapat beberapa macam formulasi dari rumus permutasi. Diantaranya adalah sebagai berikut.

1. Permutasi n elemen

Jika terdapat unsur yang berbeda dan akan diabil n unsur, maka banyaknya cara yaitu sebagai berikut.

P(n,n) = n! atau nPn = n!

Contoh Soal:

Pada pertemuan organisasi perhimpunan guru diikuti oleh 4 organisasi. Pada hari pertemuan terdapat 4 bendera organisasi berbeda yang dipasang. Berapa banyak cara yang bisa panitia lakukan untuk menyusun ke 4 bendera tersebut?

Pembahasan:

Terdapat 10 jumlah bendera sebagai n, maka n=4

nPn = n! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara

Maka, banyak cara yang bisa dilakukan untuk menyusun 4 bendera yaitu 24 cara.

2. Permutasi r unsur dari n (r n)

Untuk semua bilangan positif dari n dan r (syarat  r n), maka banyak cara yang bisa diambil untuk memilih r objek dari n objek adalah sebagai berikut.

P(n,r) = nPr = n!/(n-r)!

Contoh Soal:

Setiap tahun, terjadi pergantian pengurus organisasi. Beberapa kandidat yang dipilih ada 4 posisi kandidat yaitu ketua, wakil ketua, bendahara, dan sekretaris. Terdapat 7 orang yang melamar posisi tersebut. Maka berapa banyak cara yang bisa dilakukan pada proses pemilihan tersebut?

Pembahasan:

Banyak posisi kandidat (r) ada empat, maka r=4
Banyak pelamar (n) ada tujuh, maka n=7
Sehingga, banyak cara yang bisa dilakukan adalah permutasi 4 dari 7

Baca juga:  Cara Menulis Resensi Buku dan Contohnya (Buku Fiksi dan Non Fiksi)
permutasi dan kombinasi

Jaid, terdapat 840 cara yang bisa dilakukan untuk memilih 4 kandidat dari 7 pelamar.

3. Permutasi n unsur yang mengandung p, q, dan r unsur yang sama

Rumus permutasi p, q, r dari unsur n adalah sebagai berikut.

permutasi dan kombinasi

Contoh Soal:

Banyak cara penyusunan untuk kata MEMBACA yaitu:

Pembahasan:

Dari kata “MEMBACA” terdapat 7 huruf, sehingga n = 7
k1 = huruf M = 2
k2 = huruf E = 1
k3 = huruf B = 1
k4 = huruf A = 2
k5 = huruf C = 1
Maka banyak cara yang bisa dilakukan untuk menyusun kata MEMBACA adalah sebagai berikut

permutasi dan kombinasi

4. Permutasi siklis

Sesuai dengan namanya, permutasi siklis meurpakan suatu permutasi melingkar karena urutannya yang melingkar.

Rumus permutasi siklis adalah sebagai berikut.

Contoh Soal:

Dari 6 anggota dewan guru akan mengadakan rapat di meja bundar. Banyaknya penyusunan tempat duduk dari 6 orang tersebut adalah…

Pembahasan:

Banyak orang (n) = 6, sehingga:

5Psiklis = (6 – 1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara

5. Permutasi berulang dari n unsur

Ketika terjadi perulangan pada n unsur, maka rumus permutasinya adalah sebagai berikut.

Pn = nk

Contoh Soal:

Banyak susunan dari 2 bilangan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 yaitu…

Pembahasan:

Susunan yang terdiri dari 2 bilangan, artinya bilangan ratusan, jadi k=2
Banyak angka yang akan disusun n = 5
Maka hasil permutasinya adalah

Pn = nk
P5 = 52 = 25 susunan

Maka, banyak susunan 2 bilangan yang dihasilkan yaitu 25 susunan.

Kombinasi

Kombinasi adalah pencacahan/penyusunan suatu susunan yang bisa dilakukan tanpa memperhatikan letak atau urutannya.

Contoh Soal 1

Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih, 4 kelereng hijau, dan 2 kelereng merah. Banyak cara pengambilan 2 kelereng putih dari kantong tersebut adalah…

Pembahasan

Terdapat 6 kelereng putih sebagai n, maka n=6
Terdapat 2 kelereng putih sebagai r, maka r=2
Maka rumus kombinasinya adalah sebagai berikut

permutasi dan kombinasi

Jadi, banyak cara yang bisa dilakukan untuk mengambil dua kelereng putih dalam kantong adalah sebanyak 15 cara.

Contoh Soal 2

Ranita ingin membeli makanan, diantaranya yaitu 4 bungkus pizza, 6 cup es krim, dan 10 es kopi. Sedangkan pedagang memiliki persediaan 8 pizza, 10 cup es krim, dan 12 es kopi. Berapa banyak cara yang bisa Ranita lakukan untuk membeli makanan?

Pembahasan

Pertama, untuk pemilihan 4 dari 8 pizza

Baca juga:  Surat Kuasa: Pengertian, Struktur, Fungsi, dan Contohnya
permutasi dan kombinasi

Kedua, pemilihan 6 dari 10 cup es krim

Ketiga, pemilihan 10 dari 12 es kopi

Maka, banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih hewan ternak yang akan dibeli adalah.

Jadi, total susunan atau banyak cara yang bisa dilakukan Ranita dalam memilih makanan ada 970.200 cara.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Pada dasarnya perbedaan permutasi dan kombinasi adalah iya dan tidaknya penggunaan urutan. Namun, meski demikian sering terjadi ketidaksesuaian penggunaan. Berikut adalah contoh kasus dari penggunaan rumus permutasi dan kombinasi.

Permasalahan Permutasi

Jika studi kasus memperhatikan urutan, maka menggunakan permutasi. Contoh persoalan permutasi diantaranya adalah:

  • Penyusunan bendera negara/organisasi
  • Penyusunan ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara
  • Posisi tempat duduk orang yang berbeda
  • Penulisan plat nomor
  • Penyusunan huruf dari sebuah kata
  • Pelemparan koin
  • dan berbagai kasus permutasi lainnya

Contoh soal dengan penyelesaian menggunakan rumus permutasi.

Susunan kepanitiaan terdiri dari ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Terdapat 8 kandidat yang akan dipilih berdasarkan kriteria. Berapa banyak susunan panitia yang bisa dibentuk?

contoh soal permutasi

Dalam permutasi, urutan menjadi bagian penting yang perlu diperhatikan. Kedudukan orang pertama sebagai ketua akan berbeda dengan orang kedua sebagai wakil, sekretaris maupun bendahara. Demikian juga dengan kedudukan posisi lainnya.

Permasalahan Kombinasi

Jika studi kasus tidak memperhatikan urutan, maka menggunakan rumus kombinasi. Beberapa contoh soal kombinasi adalah sebagai berikut.

  • Pengambilan bola seragam dalam kantong
  • Pemilihan dalam pembelian barang
  • Pengambilan buku mata pelajaran
  • Pemilihan karyawan dalam perusahaan
  • dan berbagai kasus kombinasi lainnya

Berikut adalah contoh soal dengan penerapan kombinasi.

Suatu perusahaan melakukan seleksi wawancara kepada 15 orang untuk mengisi 2 lowongan pekerjaan. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan perusahaan dalam memilih 2 orang lulus seleksi?

contoh soal kombinasi

Dalam kombinasi, urutan tidak terlalu diperhatikan. Misalnya saja ada 10 orang pelamar kerja yaitu : a,b,c,d,e,f,g,h,i, dan j.

Penyusunan kombinasi, susunan (a,b) sama saja dengan (b,a). Sedangkan penyusunan permutasi, susunan (a,b) tidak sama dengan (b,a)


Semoga bermanfaat ya!

Mahasiswi Departemen Fisika Universitas Diponegoro dengan bidang ilmu Fisika Material