Persamaan Lingkaran – Rumus, Bentuk Umum, dan Contoh Soal

persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran memiliki bentuk umum x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0, dimana bentuk tersebut dapat digunakan untuk menentukan jari-jari dan titik pusat suatu lingkaran.

Persamaan Lingkaran yang akan kamu pelajari di bawah ini memiliki beberapa bentuk. Dalam kasus yang berbeda, persamaanya bisa berbeda. Oleh sebab itu, pahami dengan baik ya biar bisa sampai hafal di luar kepala.

Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Koordinat dari titik-titik tersebut ditentukan lewat susunan persamaannya. Ini ditentukan berdasarkan panjang jari-jari dan koordinat titik pusat lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Terdapat berbagai macam persamaannya, yaitu persamaan yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari – jarinya.

Persamaan umum lingkaran

Terdapat persamaan umum, seperti dibawah ini :

persamaan lingkaran

Dilihat dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari – jarinya, adalah :

persamaan lingkaran

Titik pusat lingkaran adalah :

Pada pusat P (a,b) dan jari-jari r

Dari sebuah lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jari nya, akan didapatkan yaitu dengan rumus :

persamaan lingkaran

Jika diketahui titik pusat suatu lingkaran dan jari – jari lingkaran dimana (a,b) adalah titik pusat dan r adalah jari-jari dari lingkaran.

Dari persamaan yang didapat diatas, kita dapat menentukan apakah termasuk titik terletak pada lingkaran tersebut, atau di dalam atau diluar. Untuk menentukan letak titik tersebut, yaitu dengan menggunakan subtitusi titik pada variabel x dan y lalu dibandingkan hasil nya dengan kuadrat dari jari-jari lingkaran.

persamaan lingkaran

Suatu titik  M(x1, y1) terletak:

persamaan lingkaran

 Pada lingkaran:

Di dalam lingkaran: 

Di luar lingkaran: 

Pada dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r

Jika titik pusat di O(0,0), maka lakukanlah subtitusi pada bagian sebelum nya, yakni :

persamaan lingkaran

Dari persamaan diatas, maka, dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

persamaan lingkaran

Suatu titik  M(x1, y1) terletak:

Pada lingkaran: 

Di dalam lingkaran: 

Diluar lingkaran: 

Baca juga:  Perubahan Sosial : Pengertian, Jenis, Faktor, dan Pengaruhnya

Bentuk umum dari persamaannya dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk berikut.

 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 , atau

X2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 , atau

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0 , dengan P = -2a, Q = -2b, dan S = a2 + b2 – r2

Perpotongan Garis dan Lingkaran

Suatu lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dapat ditentukan apakah suatu garis h dengan persamaan y = mx + n tersebut tidak menyentuh, menyinggung, atau memotongnya dengan menggunakan prinsip diskriminan.

……. (persamaan 1)

 …….. (persamaan 2)

Dengan mensubtitusi persamaan 2 ke persamaan 1, akan diperoleh suatu bentuk persamaan kuadrat, yaitu:

persamaan lingkaran

Dari persamaan kuadrat diatas, dengan membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tidak menyinggung/memotong, menyinggung atau memotong lingkaran.

Garis h tidak memotong/menyinggung lingkaran, maka D < 0

Garis h menyinggung lingkaran, maka D = 0

Garis h memotong lingkaran, maka D > 0

persamaan lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada lingkaran

Garis singgung pada suatu lingkaran tepat bertemu dengan satu titik yang terletak pada lingkaran. Dari titik pertemuan dari garis singgung dan lingkaran, dapat ditentukan persamaan garis dari garis singgung tersebut.

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1), dapat ditentukan yaitu:

  • Bentuk

Persamaan garis singgungnya

  • Bentuk

Persamaan garis singgungnya

persamaan lingkaran

  • Bentuk

Persamaan garis singgungnya

Contoh soal:

Persamaan garis singgung yang melalui titik (-1,1) pada lingkaran

adalah :

Jawab:

Diketahui persamaan lingkarannya

dengan A= -4, B = 6 dan C = -12 dan x1 = -1, y1 = 1

PGS adalah

persamaan lingkaran

Jadi persamaan garis singgungnya adalah

2. Persamaan garis singgung dengan gradien

Jika suatu garis dengan gradien m yang menyinggung sebuah lingkaran,

persamaan lingkaran

maka persamaan garis singgungnya yaitu :

Jika lingkaran,

persamaan lingkaran

maka persamaan garis singgungnya:

persamaan lingkaran

Jika lingkaran,

maka persamaan garis singgungnya dengan mensubtitusi r dengan,

persamaan lingkaran

sehingga diperoleh:

persamaan lingkaran

atau

3. Persamaan Garis Singgung Dengan Titik Yang Berada Diluar Lingkaran

Dari suatu titik yang berada diluar lingkaran, dapat ditarik dua garis singgung pada lingkaran tersebut.

Baca juga:  16 Kerajaan Hindu Budha di Indonesia (Penjelasan Lengkap)

Untuk mencari persamaan garis singgung, digunakan rumus persamaan garis biasa, yaitu:

persamaan lingkaran

Akan tetapi, dari rumus tersebut, nilai gradien garis belum diketahui. Untuk mencari nilai gradien garis, substitusikan persamaan pada persamaan lingkaran. Karena garis merupakan garis singgung, maka dari persamaan hasil substitusi nilai D=0, dan akan diperoleh nilai m

Contoh Soal

Contoh Soal 1

Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah…

Pembahasan:

Karena d = 8 berarti r = 8/2 = 4, sehiingga persamaan lingkaran yang terbentuk adalah

(x – 2)² + (y – 3)² = 42

x² – 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (5,1) dan menyinggung garis 3x– 4y+ 4 = 0!

Pembahasan:
Jika diketahui pusat lingkaran (a,b) = (5,1) dan garis singgung lingkarannya 3x– 4y+ 4 = 0, maka jari-jari lingkarannya dirumuskan sebagai berikut.

Dengan demikian, persamaan umum lingkarannya adalah sebagai berikut.

Jadi, persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (5,1) dan menyinggung garis 3x– 4y+ 4 = 0 adalah 

Contoh Soal 3

Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di (-3,4) dan menyinggung sumbu-Y!

Pembahasan:
Pertama-tama, kita gambarkan dahulu grafik lingkarannya, yaitu berpusat di (-3,4) dan menyinggung sumbu-Y!

Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat (-3,4) dengan jari-jari 3, sehingga diperoleh:

Jadi, persamaan umum yang berpusat di (-3,4) dan menyinggung sumbu-Y adalah 

Pada beberapa kasus, jari-jari lingkarannya tidak diketahui, tetapi garis singgungnya diketahui. Lantas bagaimana menentukan jari-jari lingkarannya? Perhatikan gambar berikut.

persamaan lingkaran

Gambar di atas menunjukkan bahwa garis singgung dengan persamaan px+  qyr= 0 menyinggung lingkaran yang berpusat di C(a,b). Untuk jari-jarinya bisa kita tentukan dengan persamaan berikut.a,b). Untuk jari-jarinya bisa kita tentukan dengan persamaan berikut.

Semoga bermanfaat.

Mahasiswa Fisika Universitas Diponegoro. Tertarik dengan segala hal baru di dunia ilmu pengetahuan.