Induksi matematika adalah sebuah metode deduktif yang digunakan sebagai pembuktian pernyataan benar atau salah.
Suatu induksi matematika dibedakan menjadi tiga jenis yaitu deret, pembagian dan pertidaksamaan.
Kalian pasti pernah mempelajari tentang induksi matematika pada sekolah menengah atas. Seperti yang kita ketahui, induksi matematika merupakan perluasan dari logika matematika.
Dalam penerapannya, logika matematika digunakan untuk mempelajari pernyataan yang bernilai salah atau benar, ekivalen atau ingkaran serta penarikan kesimpulan.
Konsep Dasar Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan sebuah metode deduktif yang digunakan sebagai pembuktian pernyataan benar atau salah.
Pada prosesnya, kesimpulan ditarik berdasarkan kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga untuk pernyataan khusus juga dapat berlaku benar juga.
Selain itu, suatu variabel dalam induksi matematika juga dianggap sebagai sebuah anggota dari himpunan bilangan asli.
Pada dasarnya, terdapat tiga langkah dalam induksi matematika agar dapat membuktikan apakah suatu rumus atau pernyataan dapat bernilai benar atau justru sebaliknya.
Langkah-langkah tersebut adalah :
- Membuktikan suatu pernyataan atau rumus benar untuk n = 1.
- Mengasumsikan suatu pernyataan atau rumus benar untuk n = k.
- Membuktikan suatu pernyataan atau rumus benar untuj n = k + 1.
Dari langkah di atas, dapat kita asumsikan bahwa sebuah pernyataan harus dapat dinyatakan kebenarannya untuk n=k dan n=k+1.
Jenis Induksi Matematika
Terdapat berbagai macam permasalahan matematis yang dapat diselesaikan melalui induksi matematika.
Oleh karena itu, induksi matematika dibedakan menjadi tiga jenis yaitu deret, pembagian dan pertidaksamaan.
1. Deret
Pada jenis deret, biasanya persoalan induksi matematika ditemui dalam bentuk penjumlahan yang beruntun.
Sehingga, pada persoalan deret haruslah dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k+1).
2. Pembagian
Jenis induksi matematika pembagian dapat kita jumpai di berbagai soal yang menggunakan kalimat sebagai berikut :
- a habis dibagi b
- b faktor dari a
- b membagi a
- a kelipatan b
Keempat ciri tersebut menunjukkan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian.
Hal yang perlu diingat adalah, jika bilangan a habis dibagi dengan b maka a = b.m dengan m adalah bilangan bulat.
3. Pertidaksamaan
Jenis pertidaksamaan ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari yang ada di pernyataannya.
Terdapat sifat-sifat yang sering digunakan dalam penyelesaian induksi matematika jenis pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah :
- a > b > c ⇒ a > c atau a < b < c ⇒ a < c
- a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc
- a < b ⇒ a + c < b + c atau a > b ⇒ a + c > b + c
Contoh Soal Induksi Matematika
Berikut merupakan contoh soal agar kalian dapat lebih memahami mengenai bagaimana cara menyelesaikan suatu pembuktian rumus dengan menggunakan induksi matematika.
Deret
Contoh 1
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.
Jawab :
P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan n = (n) benar untuk setiap n ∈ N
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n=(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar
Langkah Kedua :
Asumsikan n=(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N
Langkah Ketiga
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Dari asumsi :
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, n = (k + 1) benar
Contoh 2
Gunakanlah induksi matematika untuk membuktikan persamaan
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +…+ (2n-1) = n2 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Jawab :
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n=(1) benar
S1 = 1 = 12
Langkah Kedua
Asumsikan bahwa n=(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 +7 +...+ 2(k)-1 = k2
1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) = k2
Langkah Ketiga
Buktikan bahwa n=(k+1) adalah benar
1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) + [2(k+1) - 1] = (k+1)2
ingat bahwa 1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) = k2
maka
k2 + [2(k+1) - 1] = (k+1)2
k2 + 2k + 1 = (k+1)2
(k+1)2 = (k+1)2
maka persamaan di atas terbukti
Contoh 3
Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 benar, untuk setiap n bilangan asli
Jawab :
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n=(1) benar
1 = 12
Jadi, P(1) benar
Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2, k ∈ N
Langkah Ketiga :
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Dari asumsi :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k2
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 +...+ (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Jadi, n=(k + 1) juga benar
Pembagian
Contoh 4
Buktikan n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli
Jawab :
Langkah Pertama:
Akan ditunjukkan n=(1) benar
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, n=(1) benar
Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)
Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k2 + k + 1), maka
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ
Jadi, n=(k + 1) benar
Pertidaksamaan
Contoh 5
Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku
3n > 1 + 2n
Jawab :
Langkah Pertama:
Akan ditunjukkan n=(2) benar
32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Jadi, P(1) benar
Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
3k > 1 + 2k, k ≥ 2
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
3k+1 > 1 + 2(k + 1)
3k+1 = 3(3k)
3k+1 > 3(1 + 2k) (karena 3k > 1 + 2k)
3k+1 = 3 + 6k
3k+1 > 3 + 2k (karena 6k > 2k)
3k+1 = 1 + 2k + 2
3k+1 = 1 + 2(k + 1)
Jadi, n=(k + 1) juga benar
Contoh 6
Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku
(n + 1)! > 3n
Jawab :
Langkah Pertama:
Akan ditunjukkan n=(4) benar
(4 + 1)! > 34
ruas kiri : 5! = 5.4.3.2.1 = 120
ruas kanan : 34 = 81
Jadi, n=(4) benar
Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
(k + 1)! > 3k , k ≥ 4
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1 + 1)! > 3k+1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2)(k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2)(3k) (karena (k + 1)! > 3k)
(k + 1 + 1)! > 3(3k) (karena k + 2 > 3)
(k + 1 + 1)! = 3k+1
Jadi, n=(k + 1) juga benar
Referensi:
- rumus.co.id
- rumusrumus.com
