Fungsi Komposisi adalah penggabungan sebuah operasi dua jenis fungsi f(x) dan g(x) sehingga dapat menghasilkan sebuah fungsi baru.
Rumus Fungsi Komposisi
Lambang dari operasi fungsi komposisi adalah dengan “o” kemudian dapat dibaca komposisi ataupun bundaran. Fungsi baru inilah yang dapat terbentuk dari f(x) dan g(x) yaitu:
- (f o g)(x) yang artinya g dimasukkan ke f
- (g o f)(x) yang artinya f dimasukkan ke g
Dalam fungsi komposisi juga dikenal dengan istilah fungsi tunggal.
Apa itu fungsi tunggal?
Fungsi tunggal merupakan fungsi yang bisa dilambangkan dengan huruf “f o g” atau bisa dibaca “f bundaran g”. Fungsi “f o g” adalah fungsi g yang dikerjakan terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan f.
Sedangkan, untuk fungsi “g o f” dibaca fungsi g bundaran f. Sehingga, “g o f” adalah fungsi dengan f dikerjakan terlebih dahulu daripada g.
Kemudian Fungsi (f o g) (x) = f (g (x)) → fungsi g (x) dikomposisikan sebagai fungsi f (x)
Supaya dapat memahami fungsi ini, perhatikan gambar dibawah ini :
Dari skema rumus di atas, definisi yang telah kita dapatkan adalah :
Jika f : A → B ditentukan dengan rumus y = f(x)
Jika g : B → C ditentukan dengan rumus y = g(x)
Maka, didapatkan sebuah hasil fungsi g dan f :
h(x) = (gof)(x) = g( f(x))
Dari definisi di atas kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi yang melibatkan fungsi f dan g dapat ditulis :
- (g o f)(x) = g(f(x))
- (f o g)(x) = f(g(x))
Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Terdapat beberapa sifat pada fungsi komposisi yang dijelaskan di bawah ini.
Jika f : A → B , g : B → C , h : C → D, maka berlaku :
- (f o g)(x)≠(g o f)(x). Tidak berlaku sifat komutatif
- [f o (g o h)(x)] = [(f o g ) o h (x)]. bersifat asosiatif
- Jika fungsi identitas I(x), maka berlaku (f o l)(x) = (l o f)(x) = f(x)
Contoh Soal
Soal 1
Diberikan dua
buah fungsi yang masing-masing f (x) dan g (x)
berturut-turut yaitu :
f (x) = 3x + 2
g (x) = 2 − x
Tentukanlah:
a) (f o g) (x)
b) (g o f) (x)
Jawaban
Diketahui:
f (x) = 3x + 2
g (x) = 2 − x
(f o g)(x)
“Masukkanlah g (x) nya kef (x)”
hingga menjadi:
(f o g)(x) = f ( g(x) )
= f (2 − x)
= 3 (2 − x) + 2
= 6 − 3x + 2
= − 3x + 8
(g o f ) (x)
“Masukkanlah f (x) nya ke g (x)”
Hingga menjadi :
(f o g) (x) = g (f (x) )
= g ( 3x + 2)
= 2 − ( 3x + 2)
= 2 − 3x − 2
= − 3x
Soal 2
Bila diketahui f (x) = 3x + 4 dan g (x) = 3x berapa nilai dari (f o g) (2).
Jawaban:
(f o g) (x) = f (g (x))
= 3 (3x) + 4
= 9x + 4
(f o g) (2) = 9(2) + 4
= 22
Soal 3
Diketahui fungsi f (x) = 3x − 1 dan g (x) = 2×2 + 3. Nilai dari komposisi fungsi ( g o f )(1) =….?
Jawaban
Diketahui:
f (x) = 3x − 1 dan g (x) = 2×2 + 3
( g o f )(1) =…?
Masukkanlah f (x) nya pada g (x) lalu isi dengan 1
(g o f) (x) = 2 (3 x − 1) 2 + 3
(g o f) (x) = 2 (9 x 2 − 6x + 1) + 3
(g o f) (x) = 18x 2 − 12x + 2 + 3
(g o f) (x) = 18×2 − 12x + 5
(g o f) (1) = 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11
Soal 4
Diberi dua buah fungsi:
f (x) = 2x − 3
g (x) = x2 + 2x + 3
Jika (f o g)(a) adalah 33, tentukanlah nilai dari 5a
Jawaban:
Cari terlebih dahulu (f o g)(x)
(f o g)(x) sama dengan 2(x2 + 2x + 3) − 3
(f o g)(x) sama dengan 2×2 4x + 6 − 3
(f o g)(x) sama dengan 2×2 4x + 3
33 sama dengan 2a2 4a + 3
2a2 4a − 30 sama dengan 0
a2 + 2a − 15 sama dengan 0
Faktorkan:
(a + 5)(a − 3) sama dengan 0
a = − 5 ataupun a sama dengan 3
Hingga
5a = 5(−5) = −25 atau 5a = 5(3) = 15
Soal 5
Jika (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Berapakah nilai dari f(3)?
Jawaban:
(f o g)(x) sama dengan x² + 3x + 4
f (g(x)) sama dengan x² + 3x + 4
g(x) sama dengan 3 Jadi,
4x – 5 sama dengan 3
4x sama dengan 8
x sama dengan 2
f (g(x)) = x² + 3x + 4 dan untuk g(x) sama dengan 3 didapat x sama dengan 2
Hingga : f (3) = 2² + 3 . 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14
Demikian penjelasan terkait rumus Fungsi Komposisi adalah dan contoh soalnya. Semoga bermanfaat.