Baris dan Deret Geometri: Rumus, Soal, dan Pembahasannya

ilustrasi oleh dribbble.com

Deret geometri adalah barisan bilangan yang tersusun dari suku-suku yang memiliki perbandingan tetap. Rumus deret geometri adalah Un= ar^(n-1).

Di dalam matematika, pola bilangan didefinisikan sebagai susunan dari beberapa bilangan yang membentuk pola tertentu.

Beberapa jenis pola bilangan di antaranya adalah pola bilangan genap, ganjil, aritmetika, dan geometri. Sementara kali ini kita akan mempelajari dua jenis pola bilangan yaitu barisan dan deret Geometri.

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang tersusun dari suku-suku yang memiliki perbandingan tetap.

Suku pertama barisan geometri dinotasikan dengan a. Rasio atau perbandingan antara dua suku dinotasikan dengan r.

Baris geometri dapat dirumuskan sebagai berikut:

a, ar, ar2, ar3, …, arn-1

a = suku pertama barisan geometri
r = rasio antara suku-suku
n = urutan suku

Untuk menentukan nilai suku ke-n atau rasio, kita dapat menggunakan rumus berikut.

Un = suku ke-n

Mari kita kerjakan contoh soal di bawah ini.

Diketahui suatu barisan geometri 3, 9, 27, 81, 243. Berdasarkan hal tersebut, maka tentukan besar rasio dari barisan geometri tersebut!

Kita mengetahui U1 = 3 dan U2 = 9, sehingga jika dimasukkan ke dalam rumus, kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut.

Jadi, rasio atau pembanding barisan geometri di atas adalah 3.

Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dalam barisan geometri yang dapat dinotasikan dengan Sn yang berarti jumlah n suku pertama pada barisan geometry, dirumuskan sebagai berikut.

deret geometri

a = suku pertama barisan geometri
r = rasio antara suku-suku
n = urutan suku terakhir yang dijumlahkan
Un = suku ke-n

Contoh Soal dan Pembahasan Deret Geometri

Mari kita kerjakan contoh soal di bawah ini.

Contoh 1

Diketahui deret geometri dengan suku pertama adalah 6 dan suku keempat adalah 48, maka jumlah enam suku pertama adalah…?

Kita mengetahui a = 6 dan U4 = 48. Jika kita masukkan ke dalam rumus, hasil yang didapat adalah sebagai berikut.

deret geometri

Jadi, jumlah 6 suku pertama dari deret di atas adalah 378.

Contoh 2

Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui 

Ditanya  
Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.

Ingat kembali  maka

Substitusikan r = 3 ke persamaan  

sehingga



= 9

Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

Contoh 3

Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan:

Diketahui bahwa:

S_2 = 6
6 = a \frac{(1 - r^2)}{(1 -r)} = a \frac{(1 -r)(1 + r)}{(1 -r)} = a(1 + r)

dan

S_4 = 54
54 = a \frac{(1 - r^4)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r^2)(1 + r^2)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r)(1 + r)(1 + r^2)}{(1 - r)}
54 = a(1 + r)(1 + r^2)

Apabila kedua persamaan disubstitusikan:

54 = a(1 + r)(1 + r^2)
54 = 6(1 + r^2)
9 = (1 + r^2)
r = \pm \sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}

Dan

6 = a(1 + r) = a(1 + 2\sqrt{2})
a = \frac{6}{(1 + 2\sqrt{2})}

Sehingga diperoleh:

S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} = (\frac{6}{1 + 2\sqrt{2}}) \frac{(1 - (2\sqrt{2})^6)}{(1 - 2\sqrt{2})}
S_n = \frac{6(1 - 8^3)}{1 - 8} = \frac{3066}{7}

Referensi:

  • Kelaspintar.id

Artikel Terkait