Vektor: Penjelasan, Rumus, Contoh Soal beserta Pembahasannya

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, dimana digambarkan dalam bentuk panah yang menunjukkan arah dan panjang garis disebut besar vektor.

contoh vektor dalam fisika seperti kecepatan, perpindahan, gaya, momentum dan sebagainya.

Notasi vektor bisa ditulis dengan huruf kapital yang dicetak tebal atau huruf kecil yang memuat tanda panah/garis diatasnya. Selain itu, apabila bermula dari titik A sampai dengan titik B, maka bisa ditulis:

Contoh vektor  adalah vektor yang berawal dari titik A(x₁ . y₁) menuju ke titik B(x₂ . y₂) dapat dilukiskan dengan koordinat kartesius seperti berikut.

Panjang garis sejajar sumbu x adalah v₁ =  x₂ – x₁ serta panjang garis sejajar sumbu y yaitu v₂ =  y₂ – y₁, itulah beberapa komponen dari vektor .

Jenis-Jenis Vektor

1. Vektor Posisi

Jenis vektor yang posisi titik awalnya berada di titik O (0,0) dan titik ujungnya di A (a₁, a₂).

2. Vektor Nol

Jenis vektor yang memiliki panjangnya nol dan dinotasikan 0 (tanda panah diatas) dan tidak memiliki arah vektor yang jelas.

3. Vektor Satuan

Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari

sehingga diperoleh,

4. Vektor Basis

Vektor basis adalah suatu vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi (R²) memiliki dua vektor basis yaitu  i= (1, 0) dan  j = (0, 1). Sedangkan dalam tiga dimensi (R³) memiliki tiga basis yaitu i=(1,0,0), j=(0,1,0) dan k=(0,0,1).

Vektor di ruang dua dimensi R²

Panjang dari suatu segmen garis yang menyebutkan vektor dilambangkan dengan memakai v.

Penulisan panjang vektor dari v ditulis sebagai berikut.

jika diilustrasikan dengan gambar, panjang vektor didapat:

Vektor juga ditulis dalam kombinasi linier vektor basis i dan j, sehingga menjadi:

Panjang vektor apabila membentuk suatu sudut θ, ditunjukkan sebagai berikut.

Operasi vektor di R²

Penjumlahan vektor

Penjumlahan vektor dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang letaknya sama.

contohnya seperti vektor berikut.

Hasil penjumlahannya menjadi:

Sifat-sifat penjumlahan vektor berlaku seperti berikut:

Perkalian skalar vektor di R²

Vektor yang dikalikan dengan suatu skalar akan menghasilkan vektor baru.

Secara aljabar perkalian vektor v dengan skalar k dirumuskan sebagai berikut:

Perkalian skalar dua vektor di R²

Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor yang ditulis sebagai berikut.

Perkalian ini didapat dengan cara mengalikan panjang vektor a dan panjang vektor b dengan cosinus.

Vektor di ruang tiga dimensi R³

Vektor R³ yang dimaksud disini adalah vektor yang berada di ruang tiga dimensi (x,y,z). Untuk mencari jarak AB, apabila diketahui titik A (x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂), maka jaraknya..

Apabila ditulis dalam bentuk matriks menjadi :

Sehingga besar atau panjang vektor v:

Vektor diruang tiga dimensi ini, bisa juga disajikan dalam bentuk kombinasi linier dari vektor basis i(1,0,0) , j(0,1,0) dan k(0,0,1)

Operasi vektor di R³

Terdiri dari beberapa operasi yaitu penjumlahan, pengurangan dan perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di ruang tiga dimensi.

Perkalian vektor di R³ dengan skalar

Apabila terdapat vektor v dikalikan dengan k skalar, maka perkaliannya menjadi

Perkalian dua vektor

Jika terdapat dua buah vektor a dan vektor b.

Maka, a.b ditulis sebagai berikut.

Proyeksi Orthogonal vektor

Apabila terdapat vektor a dan diproyeksikan ke vektor b, hasil proyeksinya c ditunjukkan sebagai berikut

perkalian dua buah vektor a dan b:

maka,

sehingga panjang vektor c menjadi:

untuk memperoleh vektor c yaitu:

Contoh Soal dan Pembahasan: Vektor

Berikut adalah beberapa soal dan pembahasan mengenai materi vektor.

1. Diketahui:

Maka, nilai vektor u adalah…

Jawab:

Dengan demikian,

Jadi, vektor u adalah 7i+8j-2k.

2. Diketahui komponen-komponen vektor dibawah ini.

Tentukan nilai dari|c| adalah

Jawab:

3. Diketahui vektor:

Tentukan:

a. proyeksi vektor a pada vektor b?
b. proyeksi skalar a pada vektor b?

Jawab:

a. proyeksi vektor a pada vektor b adalah

b. proyeksi skalar  a pada vektor b adalah

Demikian penjelasan mengenai materi vektor, lengkap beserta contoh soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat!

Referensi:

• studiobelajar.com
• yuksinau.id