Transformasi Geometri: Penjelasan, Contoh Soal dan Pembahasannya

Ilustrasi oleh dribbble.com

Transformasi geometri adalah proses pemindahan atau pembentukan bayangan dari suatu titik baik meliputi posisi, ukuran maupun bentuknya.

Adapun beberapa jenis transformasi geometri seperti translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian.

Untuk lebih jelasnya mengenai materi ini, mari simak penjelasan berikut ini.

Jenis-Jenis Transformasi Geometri

1. Translasi (pergeseran)

Translasi adalah pemindahan suatu objek berupa garis yang searah atau lurus pada jarak tertentu.

transformasi geometri
rumushitung.com

Penentuan hasil dari translasi cukuplah mudah yaitu dilakukan dengan cara menambahkan absis serta ordinat dengan jarak tertentu sesuai dengan aturan tertentu.

Adapun beberapa jenis translasi yang sering digunakan seperti berikut.

Pergeseran searah sumbu x sejauh a dan searah sumbu y sejauh b.

Matriks:

Hasil bayangan :

x’ = a+ x
y’ =b+x

Transformasi oleh matriks berordo 2×2

Matriks:

Hasil bayangan:

x’=ax+by
y’=cx+dy

2. Refleksi (pencerminan)

Pencerminan atau refleksi adalah transformasi dengan memindahkan titik-titik menggunakan sifat bayangan suatu cermin.

transformasi geometri

Suatu objek yang mengalami refleksi akan mempunyai bayangan benda yang dihasilkan oleh suatu cermin. Hasilnya berupa refleksi pada bidang kartesius yang bergantung pada sumbu pencerminannya.

Adapun beberapa jenis pencerminan, selengkapnya dibahas sebagai berikut.

Pencerminan terhadap sumbu x

Penulisan transformasinya yaitu

A(a,b) → A’(a,-b)

Matriks :

Perhitungan :

Pencerminan terhadap sumbu y

Penulisan transformasinya yaitu

A(a,b) → A’(-a,b)

Matriks :

Perhitungan :

Pencerminan terhadap garis y = x

Penulisan transformasinya yaitu

A(a,b) → A’(b,a)

Matriks :

Perhitungan :

Pencerminan terhadap garis y = -x

Penulisan transformasinya yaitu

A(a,b) → A’(-b,-a)

Matriks :

Perhitungan :

Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)

Penulisan transformasinya yaitu

A(a,b) → A’(-a,-b)

Matriks :

Perhitungan :

Pencerminan terhadap Garis x = h

A(a,b) → A’(2h-a,b)

Matriks :

Perhitungan :

Pencerminan terhadap Garis y = k

A(a,b) → A’(a, 2k-b)

Matriks :

Perhitungan :

3. Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau perputaran adalah perubahan posisi objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu.

Besar rotasi terhadap suatu pusat membentuk sudut tertentu, dimana arahnya sudah disepakati  yaitu -α jika searah jarum jam, dan α jika berlawanan arah.

1. Rotasi pada pusat O(0,0) sebesar α

2. Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar α

3. Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar α kemudian sebesar β

4. Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar α kemudian sebesar β

4. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi adalah suatu transformasi geometri berupa perkalian yang membuat bangunan geometri semakin besar atau semakin kecil.

transformasi geometri
blog.ruangguru.com

Perubahan ukuran benda ini berganntung pada skala yang menjadi faktor pengalinya. Adapun beberapa jenis dari dilatasi geometri seperti berikut.

1. Dilatasi titik A(a, b) pada pusat O(0,0) dengan faktor skala m

2. Dilatasi titik A(a,b) terhadap pusat P(k,l) dengan faktor skala m

Cara hitung transformasi geometri menggunakan matriks

Jika terdapat suatu matriks transformasi yang digunakan untuk membentuk bayangan suatu titik, kurva atau bidang. Dimana matriks disajikan dalam bentuk :

Maka, penulisan dan perhitungan transformasinya dapat ditulis:

Dalam koordinat kartesius ditulis:

Perhitungan:

Bayangan = M x awalanya

Dimana:

A(x,y) : titik awal
A’(x’,y’) : titik bayangan.

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri

Untuk lebih jelasnya mengenai materi ini, berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasannya.

1. Tentukan koordinat titik A jika A’ (13, -20) merupakan bayangan titik A karena translasi B (10, -7), yaitu:

Jawab:

Misal A = (x, y), maka

Jadi, koordinat titik A adalah (3, -13).

2. Diketahui B’(8, 4) merupakan bayangan titik B(x, y) yang dirotasikan pada pusat (0, 0) sebersar 90o. Berapakah nilai 2x + y?

Jawab:

Diperoleh x = 4 dan y = -8. Maka:

2 x + y = 2 (4) + (-8)
2x + y = 8 – 8
2x + y = 0

Jadi, nilai 2x + y adalah 0.

3. Diketahui C(-4, 7) direfleksikan terhadap garis y = -x. Maka koordinat bayangan titik C adalah …

Jawab:

Misal C’(x, y) adalah koordinat bayangan titik C, maka:

Jadi, koordinat bayangan titik C adalah (-7, 4).

4. Tentukan bayangan titik D(3, 2) jika dilatasikan terhadap pusat (-1, -2) dengan skala -3!

Jawab:

Misal, D’(x, y) adalah bayangan titik D

Maka,

Jadi, bayangan titik D adalah (-7, -2).

Demikian penjelasan mengenai transformasi geometri lengkap beserta contoh soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat!

Referensi:

  • studiobelajar.com
  • yuksinau.id
  • rumuspintar.com

Artikel Terkait