Contoh soal integral dan pembahasannya lengkap akan dibahas pada artikel ini. Terdapat beberapa operasi integral yaitu integral tentu, tak tentu, substitusi dan parsial.
Integral merupakan suatu konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika. Serta bersama dengan inversnya, diferensiasi, merupakan satu dari dua operasi utama dalam kalkulus.
Atau pada operasi matematika integral merupakan suatu bentuk yang mana menjadisuatu kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.
Jika f berupa integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses memecahkan antiderivatif yaitu antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberi cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.
Berikut ini terdapat beberapa rumus integral, terdiri atas:
Integral tertentu adalah integral yang memiliki batas. Jika f suatu fungsi yang didefinsikan pada selang tutup (a,b) maka integral tentu f dari a sampai b dinyatakan oleh:
Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan a integral b disebut tanda integral tentu.
Secara umum, integral tak tentu dari f(x) didefinisikan sebagai berikut:
Keterangan:
Integral subtitusi pada integral dilakukan apabila satu bentuk integral tidak dapat langsung diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral.
Integral bentuk ini terlebih dahulu diubah menjadi bentuk integral yang dapat diselesaikan dengan rumus integral, yaitu dengan cara mensubtitusikan variabel baru, yaitu dengan mensubtitusikan u = f (x).
Integral parsial digunakan apabila bentuk suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral dan dengan cara subtitusi. Menghitung integral parsial didefinisikan sebagai berikut:
Pembahasan:
Jadi, hasil integral tentu dari ʃ-1-4 7 dx adalah 21.
2. Berapakah nilai integral tentu dari ʃ-2-2 3x2 – 2x + 1 dx ?
Pembahasan:
Jadi, nilai integral tentu dari ʃ-2-2 3x2 – 2x + 1 dx adalah 20.
3. Carilah hasil integral tentu dari ʃπ/3π/6 cos x dx
Pembahasan:
Jadi, hasil integral tentu dari ʃπ/3π/6 cos x dx adalah ½ √3 – ½.
Pembahasan:
Jadi hasil dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx adalah 2x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + C.
2. Tentukan nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx !
Pembahasan:
ʃ sin x dx = – cos x + C
ʃ cos x dx = sin x + C
Maka:
ʃ 4 sin x + 7 cos x dx = – 4cos x + 7sin x + C
Jadi, nilai dari nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx adalah – 4cos x + 7sin x + C.
3. Hitunglah nilai dari ʃ dx/(3x2) !
Pembahasan:
ʃ dx/(3x2) = ʃ ⅓ x–2 dx
Jadi, nilai dari ʃ dx/(3x2) adalah – 1/(3x) + C.
Pembahasan:
Misal
u = 2x+1
dv = cos (x + π) dx
Maka
du = 2 dx
v = ʃ cos (x + π) dx = sin (x + π)
Sehingga
∫ u dv = uv − ∫v du
∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − ∫ sin (x + π) . 2 dx
∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − 2 (− cos (x + π)) + C
∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C
Jadi, hasil dari ʃ (2x+1) cos (x + π) dx adalah (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C.
2. Berapakah hasil dari ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx
Pembahasan:
Misal
u = 3x + 2
dv = sin (3x + 2) dx
Maka
du = 3 dx
v = ʃ sin (3x + 2) dx = − ⅓ cos (3x + 2)
Sehingga
∫ u dv = uv − ∫v du
∫ u dv = (3x + 2) . (− ⅓ cos (3x + 2)) − ∫ (− ⅓ cos (3x + 2)) . 3 dx
∫ u dv = − (x+2/3) . cos (3x + 2) + ⅓ . ⅓ sin (3x + 2) + C
∫ u dv = − (x+2/3) . cos (3x + 2) + 1/9 sin (3x + 2) + C
Jadi, hasil dari ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx adalah − (x+2/3) . cos (3x + 2) + 1/9 sin (3x + 2) + C.
3. Hitunglah hasil dari ∫ x sin x dx = …
Pembahasan:
Misal
u = x
dv = sin x dx
Maka
du = 1 dx
v = ʃ sin x dx = − cos x
Sehingga
∫ u dv = uv − ∫v du
∫ u dv = x . ( − cos x) − ∫(− cos x) dx
∫ u dv = − x cos x + sin x + C
Jadi, hasil dari ∫ x sin x dx adalah − x cos x + sin x + C.
Itulah pembahasan contoh soal integral tentu, tak tentu, parsial dan substitusi beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat!